如何求解二体问题中哈密顿算符的本征方程？《张朝阳的物理课》介绍分离变量法

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如何处理二体问题中纠缠在一起的变量？分离变量法与对易关系有什么内在联系？5月13日、15日中午12时，《张朝阳的物理课》第五十三期、五十四期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，用两期时间讨论了波函数在坐标空间的表示，并研究了二体问题中哈密顿算符本征方程的解法，通过选取合适的新变量以及细致的推导，将二体运动方程分解为质心运动部分与相对运动部分。最后讨论了分离变量法与算符对易性的联系，并阐明了算符的对易性与算符共同本征态存在性的关系。

波函数在坐标算符空间的表示

先来简单回顾一下有关量子力学的基本知识。经典力学中，我们用质点的位置和动量来描述物理系统，而在量子力学中则使用波函数来描述。波函数需要满足“单值、连续、可归一”的条件，不仅如此，实际上波函数是矢量，可进行线性叠加得到其它波函数，所有物理波函数构成的线性空间称为希尔伯特空间。

经典力学中经常遇到的可观察量，例如位置、动量、能量等等，在量子力学中则成为希尔伯特空间的线性算符，若算符作用到某个波函数的结果只与原波函数相差一个比例系数，那么该波函数称为该算符的本征态，而对应的比例系数称为此本征态对应的本征值。波函数可以按照这些本征态展开，某一本征态的展开系数的模平方，正是观察波函数时观察量取得对应本征值的概率。

接下来张朝阳通过具体计算来展现动量本征态与位置本征态的一些性质。上节课已经求出动量算符对应的本征态为：

其对应的动量本征值为p=ћk。对于一般的物理态，它可以展开成动量本征态的线性叠加：

其中，叠加系数φ(k)的模平方|φ(k)|^2是观察波函数ψ(x)时取得动量p=ћk的概率密度，显然所有动量取值的可能性之和为1，于是有：

由此还可以证明波函数ψ(x)是归一化的：

量子态除了按照动量本征态展开之外，也可以按照坐标算符的本征态展开。坐标算符通过如下作用在波函数ψ(x)上的效果来定义：

若将波函数ψ(x)选为ψ(x)=δ(x-x0),坐标算符作用在波函数上有：

可以发现，作用效果只是让波函数δ(x-x0)乘以系数x0，这说明波函数δ(x-x0)正是坐标算符的本征态，对应的本征值为x0。由函数δ(x-x0)的性质，非常容易将任意波函数ψ(x)展开为坐标本征态的叠加形式：

上式表明取得本征值为x0的本征态对应的展开系数为ψ(x0)，那么展开系数的模平方|ψ(x0)|^2则为在x0点处找到粒子的概率密度。而此展开系数ψ(x0)正是波函数ψ(x)在x0点的取值，这正符合我们之前关于波函数的统计诠释“波函数在某点的值的模平方就是在该点找到粒子的概率密度”，而波函数的归一化性质也可以理解为粒子在各个位置出现的概率之和为1。

（张朝阳讨论坐标算符本征态的性质）

二体问题分解为质心运动与相对运动两部分

除了上面提到的动量算符与坐标算符，哈密顿算符在量子力学中也非常重要，它直接出现在量子力学最重要的公式薛定谔方程中。哈密顿算符不仅能描述量子态随时间的演化，其本征值往往是实验观测的对象。

正如上面我们将波函数展开为坐标或动量算符的本征态那样，我们也可以将波函数展开为哈密顿算符的本征态的叠加。由于哈密顿算符的特殊性，当波函数随时间演化时，这些展开系数将按照e^{iEt/ћ}简单地变化,其中E是该本征态对应的本征值。也就是说，我们一旦将哈密顿算符的本征态与本征值求出来，只需将波函数用这些量子态展开，就可以知道该波函数随时间的演化。所以求解哈密顿算符的本征态与本征值是量子力学中非常重要的事。我们接下来就以一维空间的两体问题为例，展现哈密顿算符本征态与本征值的求解过程。

设在一维空间中，描述粒子1与粒子2的坐标分别为x1与x2，那么描述这两粒子系统的波函数具有ψ(x1，x2)的形式，此波函数在坐标点x1，x2的值的模平方，诠释为粒子1出现在坐标x1同时粒子2出现在坐标x2的概率密度。进一步设两个粒子的质量分别为m1与m2，且它们之间的相互作用以势能u(x1-x2)表示，描述系统的哈密顿算符为：

而我们还知道其中动量算符的具体的表达式为：

将动量算符的表达式代入哈密顿算符，可将哈密顿算符写为：

从上式可见，虽然等号右边的求导算符可以明显分成关于粒子1与粒子2的单独两项，但势能项则同时与两粒子的坐标有关，它将粒子1与粒子2耦合在一起，所以哈密顿算符整体不能简单地分离，这为我们求解哈密顿算符的本征方程带来困难。所以我们需要寻找新的变量来描述系统，并且哈密顿算符在新变量的表示下可以分离成不相互耦合的两部分，从而简化微分方程的求解。

由于势能u(x1-x2)只与两粒子的相对位置有关，最自然的想法便是选择相对坐标x=x1-x2为新变量之一，这样势能u(x)只与单独一个变量x有关。相对坐标x描述的是系统各部分的相对位置情况，不能描述系统整体的位置，但系统的质心坐标x_cm则可以。所以最终我们选择的新变量为：两粒子的质心坐标x_cm与相对坐标x，新旧变量关系如下：

根据上述表达式，当我们固定新变量x_cm与x中的一个时，另一个变量可以任意取值，并且我们还可将旧变量x1与x2用新变量表示出来：

这说明新变量可以取到旧变量所能取到的所有点，新变量完全可以替代旧变量作为波函数的自变量。于是我们可以令新变量x_cm与x为独立变量，对其中一个变量求偏导数的过程中另一个变量保持不变。波函数具体用新变量x_cm与x表示为：

从上式可以看到，用新变量x_cm与x表示的函数ψ(x_cm，x)其实是旧变量函数ψ(x1，x2)与新旧变量关系式的复合函数，那么通过复合函数求导的链式法则可以得到函数ψ(x_cm，x)关于x_cm的导数为：

为了书写方便，将上述求导简写成如下形式（下文类似）：

同理，通过链式法则可以求得ψ(x_cm，x)关于x的导数为：

进一步定义约化质量：

则有：

类比粒子动量的定义，可以定义与相对坐标x对应的相对动量算符为：

那么它跟粒子1与粒子2的动量算符有如下关系：

注意到在经典力学中，动量p与速度v的关系为p=mv，那么上述公式在经典力学来看，表明相对动量正是约化质量μ乘以相对运动速度，这符合之前在经典力学中求解二体相对运动方程的图像，即二体相对运动部分可以等效为坐标为相对坐标且质量为约化质量μ的质点的运动。

（张朝阳推导质心动量与相对动量跟粒子动量的关系）

类似地，我们也可以定义与质心坐标x_cm对应的质心动量算符：

那么根据先前关于质心坐标求导的表达式可以得到：

另外，我们知道粒子1与粒子2的动量算符对易，由此可知质心动量算符与相对动量算符也对易：

用坐标来表示上述算符的对易关系，则可知关于质心坐标的偏导与关于相对坐标的偏导是可交换的：

有了这些准备知识，接下来我们将把哈密顿算符用质心坐标与相对坐标这组新变量表示出来。同样也是利用复合函数的链式法则，关于x1的偏导与关于x2的偏导可以分别写为：

与

由于关于质心坐标的偏导与关于相对坐标的偏导是可交换的，那么对它们分别再做一次x1与x2的偏导，进一步得到二次偏导的表达式为：

与

将这两个二次偏导的表达式代入哈密顿算符中并化简，可得到由新变量表示的哈密顿算符为：

其中M是两粒子的总质量M=m1+m2。这个由新变量表达的哈密顿算符具有更好的性质，主要特征是质心坐标x_cm与相对坐标x没有耦合了。接下来就可以采取分离变量法将这两个变量分离开来单独考虑。首先令波函数具有如下变量分离的形式：

将其代入如下哈密顿算符的本征方程中：

通过化简与移项，可以将此本征方程分解成两个独立的本征方程，其中一个是关于两粒子质心运动部分：

另一个是关于两粒子相对运动部分：

其中我们另外要求两方程的本征值与E满足如下关系：

显然经过分解的本征方程只有一个变量，相当于原来复杂的二体问题化为了简单的单体问题，进而可以求解出本征态与本征值来。

（张朝阳利用分离变量法求解哈密顿算符的本征方程）

算符对易关系与共同本征态

前面为了利用分离变量法求解本征方程，我们将哈密顿算符H分解成了质心运动部分Hcm：

与相对运动部分Hr：

若我们进一步将上述得到的质心运动方程补上在分离变量过程中约去的函数ψ₂(x),可以得到：

这说明具有分离变量形式的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是质心运动部分Hcm的本征态。

同样地，将相对运动方程补上函数ψ₁(x_cm)可得：

这说明波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)同时也是相对运动部分Hr的本征态。所以分离变量法中使用的最关键的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，正是质心运动部分Hcm与相对运动部分Hr的共同本征态。我们接下来先讨论算符的对易性与共同本征态的存在性之间的关系。

首先证明：若两个算符A与B对易，且算符A的本征态ψn不简并，那么它们必有共同本征态。设算符A的本征方程如下：

那么由算符A与B的对易性可得：

其中第一个等号利用了算符A与B的对易性，第二个等号利用了算符A的本征方程。上式表明量子态Bψn是算符A 的本征态，且其本征值与ψn对应的本征值一样。由于A的本征态是不简并的，所以量子态Bψn与ψn至多相差一个比例系数，即：

这正是算符B的本征方程，且算符A的本征态ψn同时也是算符B的本征态。

接着，我们进一步证明，若算符A与B所拥有的共同本征态ψn的集合{ψn}构成希尔伯特空间的完备基，那么算符A与B对易。由于{ψn}构成完备基，任意取一个量子态ψ都可以按照{ψn}展开：

由于ψn是算符A与B的共同本征态，那么算符A与B作用在以ψn展开后量子态ψ上可得：

由于量子态ψ是任意的，所以算符A与B对易。

回过头来看我们分离变量法用到的波函数ψ(x_cm,x)=ψ₁(x_cm)ψ₂(x)，我们期望所有的波函数都可以用这样的分离变量后的波函数来展开，而刚刚也证明了ψ₁(x_cm)ψ₂(x)是质心运动部分Hcm与相对运动部分Hr的共同本征态，这说明算符Hcm与算符Hr的共同本征态是完备的，这就要求算符Hcm与Hr对易。

实际上，通过质心动量算符与相对动量算符的对易关系，以及质心坐标与相对坐标的独立性，即可计算验证Hcm与Hr确实是对易的，这与上述分析自洽。所以，我们若希望可以用分离变量法来求解哈密顿算符的本征方程，那就需要将哈密顿算符分解成相互对易的算符，通过求解这些对易算符相对简单的本征方程来破解原哈密顿算符的本征方程，这正是我们求解氢原子定态薛定谔方程时用到的方法。

据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。

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